La distancia Manhattan o la distancia euclidea

Cuando Euclides creó su teoría euclidiana, por la que la distancia entre dos puntos se mide como la longitud del segmento que los une, todavía no se había fundado la ciudad de Manhattan o en Ensanche de Barcelona.

Cuando miramos el mapa de alguna ciudad, e intentamos ver la distancia que separa nuestro hotel de los lugares interesantes a los que queremos ir, nos damos cuenta que la teoría euclidiana no nos sirve de nada. ¡No es una distancia real! No podemos coger una regla, medir la distancia que une ambos puntos y calcular la distancia a través de la escala. El por qué es muy sencillo, no puedo atravesar los edificios.

Esa forma de medir la distancia es conocida como distancia euclídea y es la que usamos cuando cogemos un metro y unimos los puntos que queremos medir. Se trata de una consecuencia del Teorema de Pitágoras.

Si tenemos dos puntos en el plano de coordenadas (a,b) y (c,d) respectivamente y queremos calcular la distancia euclídea entre ellos, basta con fijarse que la longitud de los catetos del triángulo rectángulo que se definen como (c-a) la de uno y (d-b) la del otro.

En el teorema de Pitágoras como se ve en la figura siguiente: la distancia entre dos puntos (marcados en rojo) es la longitud de la hipotenusa (marcada en azul en la figura); y sus catetos (trazados en verde), serían las proyecciones sobre los ejes de coordenadas de dicha recta, trasladados hasta los puntos en cuestión (marcados en rojo). Es decir, el conocido teorema se expresa: |AB|2=(xB-xA)2+(yB-yA)2

En la geometría Euclideana, la línea verde tiene longitud 6×√2 ≈ 8.48, y es el único camino más corto. En la geometría Manhattan, la línea verde tiene longitud 12, por lo que no es más corta que los otros caminos

La distancia Manhattan o longitud Manhttan (geometría del taxi) nos dice que la distancia entre dos puntos es la suma de las diferencias absolutas de sus coordenadas. Es decir, es la suma de las longitudes de los dos catetos del triángulo rectangulo. Algo así como la longitud de cualquier escalera que suba desde (a,b) con el punto (c,d). Una ruta que une el punto (a,b) y el (c,d) a través de segmentos horizontales y verticales.

Otra cosa es cuadno hablamos de conceptos como: No hay ningún árbol en 1 km. Si somos exactos y aplicamos realmente la teoría euclideana, deberiamos decir que “no hay ningún árbol en un km a la redonda”. En esta afirmación todos los puntos estarían del extremo de la circunferencia estarían a la distancia de un km del centro (origen de las coordenas).

En la teoría Manhattan deberiamos decir: “no hay un solo árbol en un kilómetro dentro del rombo”. Todos los puntos de la frontera del rombo están a la misma distancia L1 del origen de coordenas.

En la distancia Manhattan el punto verde y el punto rojo están a la misma distancia del punto azul. En general, cualquier punto de la frontera del rombo está a la misma distancia del punto de origen (punto azul).

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